c – SPOJ：M3TILE解决方案说明

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    int arr[31];

    arr[0]=1;
    arr[1]=0;
    arr[2]=3;
    arr[3]=0;

    for(int i = 4; i < 31; i++) {
        arr[i] = arr[i-2] * 4 - arr[i-4]; //this is the only line i don't get
    }

    int n;

    while(1) {
        cin >> n;

        if(n == -1) {
            break;
        }

        cout << arr[n] << endl;
    }

    return 0;
}

设T(n)是可以用2×1瓦片平铺3×n板的方式的数量.另外,让P(n)是可以平铺3×n板的方式的数量,其中一个角被移除2×1个瓦片.假设n足够大(> = 4).

然后考虑如何从左边开始平铺(或者右边,无关紧要).

您可以通过两种方式将瓷砖放在左上角,垂直或水平.如果将其垂直放置,则必须将覆盖左下角的瓷砖水平放置,从而进行配置

|
==

这留下P(n-1)种方法来平铺剩余部分.如果将其水平放置,可以将瓷砖水平或垂直放置在左下角.如果你垂直放置它,你处于和以前一样的情况,只是反射,如果你把它水平放置,你必须在它们之间水平放置一块瓷砖,

==
==
==

给你留下一块3×(n-2)的瓷砖.从而

T(n) = T(n-2) + 2*P(n-1)              (1)

现在,考虑到3×(n-1)板有一个被移除(已经被覆盖)的角(让我们假设是左上角),你可以在它下面垂直放置一个瓦片,给出

=
|

然后给你一块3×(n-2)的瓷砖,或者你可以在它下面水平放置两块瓷砖

=
==
==

然后你别无选择,只能将另一块瓷砖水平放置在顶部,离开你

===
==
==

用3×(n-3)板减去角落,

P(n-1) = T(n-2) + P(n-3)

加起来,

T(n) = T(n-2) + 2*(T(n-2) + P(n-3))
     = 3*T(n-2) + 2*P(n-3)                            (2)

但是,使用(1)用n-2代替n,我们看到了

T(n-2) = T(n-4) + 2*P(n-3)

要么

2*P(n-3) = T(n-2) - T(n-4)

将其插入(2)会产生重复

T(n) = 4*T(n-2) - T(n-4)

证明完毕