微积分(A)随缘一题[5]

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是否存在这样的函数 (f)，使得

1. (f(X)) 在 ([a,b]) 可导
2. (f'(X)) 在 ((a,b)) 中存在间断点

考虑 (f(X)=begin{Cases}0 & quad (x=0)\ x^2 sin frac{1}{x} & quad (x ne 0)end{Cases})

当 (x ne 0) 时，有 (f'(X)=2xsinfrac{1}{x}-cos frac{1}{x})

当 (x=0) 时，有 (f'(0)=lim_{h to 0} frac{f(h)-f(0)}{h}=lim_{h to 0} frac{h^2sinfrac{1}{h}}{h}=0)

因为 (lim_{x to 0} 2xsinfrac{1}{x}=0,lim_{x to 0}cos frac{1}{x} text{ DNE})

所以 (lim_{x to 0} f'(X) text{ DNE})

所以 (f'(X)) 不连续，但 (f(X)) 处处可导

大佬总结

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