大佬教程收集整理的这篇文章主要介绍了傅里叶级数，大佬教程大佬觉得挺不错的，现在分享给大家，也给大家做个参考。

1.基础概念

(任意周期函数f(x)可以转换为傅里叶级数frac{a_0}{2}+sum_{n=1}^{infty}(a_ncos nx+b_n sin nx),有点像泰勒展开)

2.基础知识-正交性

(离散值的正交性,內积=0) (连续值的正交性,int_D f(x)g(x) =0,即积分=0)

2.1三角函数的正交性

(int_{-pi}^{pi}cos nx dx=0,n=1,2,3,...) (int_{-pi}^{pi}sin nx dx=0,n=1,2,3,...) (int_{-pi}^{pi}sin kxcos nx dx=0,k,n=1,2,3,...,k可以等于n) (int_{-pi}^{pi}cos kxcos nx dx=0,k,n=1,2,3,...,kne n) (int_{-pi}^{pi}sin kxsin nx dx=0,k,n=1,2,3,...,kne n) (color{red}{证明公式待补充}) (结论:得到了一组正交的三角函数系,1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,....)

3.求(a_0,a_n,b_n)

(令f(x)是原函数,frac{a_0}{2}+sum_{n=1}^{infty}(a_ncos nx+b_n sin nx)是傅里叶级数) (求int_{-pi}^{pi}f(x)dx,可得a_0=frac{1}{pi}int_{-pi}^{pi}f(x)dx) (求int_{-pi}^{pi}f(x)cos nxdx,可得a_n=frac{1}{pi}int_{-pi}^{pi}f(x)cos nxdx) (求int_{-pi}^{pi}f(x)sin nxdx,可得b_n=frac{1}{pi}int_{-pi}^{pi}f(x)sin nxdx) (这里当a_n的n=0时,就等于a_0,所以一般不单独写a_0,合并到a_n中) (color{red}{证明公式待补充})

4.傅里叶级数的收敛性

(函数f(x)的傅里叶级数是否一定收敛?如果它收敛是否一定收敛于f(x)?)

定理(收敛定理,狄利克雷充分条件)

(设f(x)是周期为2pi的周期函数,如果它满足) (1.在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点) (2.在一个周期内至多只有有限个极值点) (则f(x)的傅里叶级数收敛,并且) (当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x)) (当x是f(x)的间断点时,级数收敛于frac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)]) (color{red}{书上也没有证明,知道下就好,有点复杂,暂时就知道知道连续函数就能收敛就行})

4.通用周期形式

(设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理的条件,则它的傅里叶级数展开式为) (frac{a_0}{2}+sum_{n=1}^{infty}(a_ncos frac{npi x}{l}+b_n sin frac{npi x}{l}),xin C) (a_n=frac{1}{l}int_{-pi}^{pi}f(x)cos frac{npi x}{l}dx,n=0,1,2,...) (b_n=frac{1}{l}int_{-pi}^{pi}f(x)sin frac{npi x}{l}dx,n=1,2,...) (C={x|f(x)=frac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)]})

5.例题

(设f(x)=begin{cases} 1 & -pi le xle 0\ -1 & 0le x < pi end{cases},求傅里叶级数) (1.先证明收敛性,略) (2.求a_n,b_n) (a_n=frac{1}{pi}int_{-pi}^{0}(-1)cos nx dx + frac{1}{pi}int_{0}^{pi}(1)cos nx dx =0) (b_n=frac{1}{pi}int_{-pi}^{0}(-1)sin nx dx + frac{1}{pi}int_{0}^{pi}(1)sin nx dx=begin{cases} frac{4}{npi},&n=1,3,5\ 0,& n=2,4,6\ end{cases}) (3.代入傅里叶级数,略)

6.傅里叶级数的复数形式

(先回顾下刚才的傅里叶级数形式) (f(x)=frac{a_0}{2}+sum_{n=1}^{infty}(a_ncos frac{npi x}{l}+b_n sin frac{npi x}{l}),xin C) (a_n=frac{1}{l}int_{-pi}^{pi}f(x)cos frac{npi x}{l}dx,n=0,1,2,...) (b_n=frac{1}{l}int_{-pi}^{pi}f(x)sin frac{npi x}{l}dx,n=1,2,...) (C={x|f(x)=frac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)]}) (然后这里引入大名鼎鼎的欧拉公式,e^{ix}=(cos x+isin x)) (转换下cos t=frac{e^{it}+e^{-it}}{2},sin t=frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}) (代入傅里叶级数展开式中,得到) (f(x)=sum_{i=-infty}^{+infty}c_ne^{ifrac{npi x}{l}}) (c_n=frac{1}{2l}int_{-l}^{l}f(x)e^{-ifrac{npi x}{l}} dx,n=0,pm1,pm2,...)

大佬总结

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