动态规划-最长非降子序列

发布时间:2019-10-29 发布网站:大佬教程
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一个序列有N个数:A[1],A[2],…,A[N],求出最长非降子序列的长度。 (讲DP基本都会讲到的一个问题LIS:longest increasing subsequence)

正如上面我们讲的,面对这样一个问题,我们首先要定义一个“状态”来代表它的子问题, 并且找到它的解。注意,大部分情况下,某个状态只与它前面出现的状态有关, 而独立于后面的状态。

让我们沿用“入门”一节里那道简单题的思路来一步步找到“状态”和“状态转移方程”。 假如我们考虑求A[1],A[i]的最长非降子序列的长度,其中i

为了方便理解我们是如何找到状态转移方程的,我先把下面的例子提到前面来讲。 如果我们要求的这N个数的序列是:

5,3,4,8,6,7

根据上面找到的状态,我们可以得到:(下文的最长非降子序列都用LIS表示)

  • 前1个数的LIS长度d(1)=1(序列:5)
  • 前2个数的LIS长度d(2)=1(序列:3;3前面没有比3小的)
  • 前3个数的LIS长度d(3)=2(序列:3,4;4前面有个比它小的3,所以d(3)=d(2)+1)
  • 前4个数的LIS长度d(4)=3(序列:3,4,8;8前面比它小的有3个数,所以 d(4)=max{d(1),d(2),d(3)}+1=3)
  • 前5个数的LIS长度d(5)=3(序列:3,4,6;)
  • 前六个数的LIS长度d(6)=4(序列:3,7,7)

OK,分析到这,我觉得状态转移方程已经很明显了,如果我们已经求出了d(1)到d(i-1), 那么d(i)可以用下面的状态转移方程得到:

d(i) = max{1,d(j)+1},其中j

用大白话解释就是,想要求d(i),就把i前面的各个子序列中, 最后一个数不大于A[i]的序列长度加1,然后取出最大的长度即为d(i)。 当然了,有可能i前面的各个子序列中最后一个数都大于A[i],那么d(i)=1, 即它自身成为一个长度为1的子序列。

参考代码为:

public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub

int [] num={5,3,8,6,7};
System.out.print(liss(num));
}
public static int liss(int num[]){
int len=1;
int []res=new int[num.length];
for(int i=0; i<num.length; ++i){
res[i] = 1;
for(int j=0; j<i; ++j)
if(num[j]<=num[i] && res[j]+1>res[i])
res[i] = res[j] + 1;
if(res[i]>len) len = res[i];
}
return len;

}

}

 

大佬总结

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